Допустим, что в некоторый момент времени известны положения трех тел в пространстве и их начальные скорости. Тела будем считать материальными точками, т. е. размерами этих тел пренебрежем по сравнению с расстояниями между ними. Считая, что между этими тремя материальными точками существует взаимное тяготение, найдем траектории, скорости и ускорения всех трех тел для любого момента времени. Сформулированная в такой форме задача получила в небесной механике наименование задачи трех тел. В 1912 г. К. Сундман, выдающийся финский математик, решил эту задачу в общем виде. Однако его решение представляет лишь чисто теоретический интерес. Координаты трех тел в решении Сундмана представлены в виде рядов («бесконечных сумм»), очень сложных и трудных для вычисления. Например, чтобы вычислить координаты тел на два месяца вперед с точностью всего 10% (причем для простоты массы трех тел и взаимные расстояния между ними считаются равными), необходимо взять число членов ряда.
Точное и сравнительно простое решение задача трех тел имеет лишь в некоторых частных случаях, рассмотренных знаменитым французским математиком Ж. Лагранжем еще в конце XVIII в.
Представим себе, что одно тело обращается вокруг второго по окружности. Как доказал Лагранж, существуют такие положения третьего тела, при которых взаимное расположение всех трех тел в процессе движения остается неизменным. Пусть первым телом будет Солнце, вторым — планета, обращающаяся вокруг Солнца по круговой орбите. Точки, в которых третье тело сохранит взаимное расположение по отношению к двум другим телам, называются либрационными точками. Первые три из них, так называемые коллинеарные либрационные точки L1, L2, L3, расположены на прямой, проходящей через Солнце и планету. Их расположение на этой прямой, разумеется, зависит от масс первых двух тел и расстояния между ними. Если поместить в любую из этих точек третье тело, вся система из трех тел будет вращаться как единое тело (совсем тек, как если бы вы стали вращать рисунок вокруг точки). Исследования, однако, показывают, что положение третьего тела в коллинеарных либрационных точках неустойчиво. Если это тело даже чуть-чуть, на как угодно малое расстояние отойдет от коллинеарных либрационных точек, назад оно уже не возвратится, а навсегда покинет эту область пространства. Не удивительно поэтому, что такой «случай Лагранжа» в природе не осуществляется.
Несравненно больший практический интерес представляют треугольные либрационные точки L4 и L5. Они образуют с Солнцем и планетой вершины двух равносторонних треугольников, поворачивающихся во время движения как единое целое. Замечательно, что движение вблизи этих точек устойчиво, что было подробно обосновано в работе В. И. Арнольда и других исследователей. Иначе говоря, выведенное из треугольных либрационных точек, третье тело при определенных начальных условиях (например, не чрезмерно большой скорости) может снова вернуться в исходное положение.
Еще в 1907 г. был открыт астероид Ахилл (или Ахиллес, номер 588), совершавший обращение вокруг Солнца почти по орбите Юпитера. Точнее, он постоянно находился вблизи точки L4 в системе Солнце — Юпитер. Позже открыли и другие малые планеты, демонстрирующие воплощение в природе одного из «случаев Лагранжа». Всем им присваивали имена героев Троянской войны, и потому в астрономической литературе эти замечательные астероиды называют троянцами. Их известно пятнадцать. Десять из них (Ахилл, Гектор, Нестор, Агамемнон, Одиссей и др.) движутся впереди Юпитера, опережая его по долготе на 60°. Пять остальных (Патрокл, Приам, Эней, Анхиз, Троил) следуют за Юпитером, оставаясь по соседству с точкой L6. Собственно, первые десять из указанных астероидов носят имена героев греческого войска и потому их иногда называют «греками» (в отличие от настоящих «троянцев», следующих за Юпитером). Впрочем, это забавное разделение не является общепринятым.
Ни один из троянцев не находится в точности в какой-либо из треугольных либрационных точек. С другой стороны, орбита Юпитера не идеальная окружность, а эллипс с эксцентриситетом, равным 0,05. Сочетание этих двух причин приводит к тому, что каждый из троянцев совершает вокруг либрационных точек L4 и L5 сложные периодические движения, одновременно обращаясь при этом и вокруг Солнца. Некоторые из троянцев иногда уходят от либрационных точек весьма далеко, например, Анхиз до 28°, а Диомед даже до 40° (по долготе)! Да и минимальное расстояние троянцев от либрационных точек никогда не бывает меньше 5°.
Троянцы — астероиды крупные. Самый большой из них — Патрокл, имеющий в поперечнике 272 км. Немногим уступает ему Гектор (поперечник 216 км), у восьми других троянцев поперечники превосходят 100 км.
Любопытно, что троянцы не единственная природная иллюстрация частного случая задачи трех тел. В 1959 г. польский астроном Кордылевский обнаружил вблизи треугольных точек либрации системы Земля — Луна обширные облака мелкой космической пыли. Лишь в очень прозрачные темные ночи и при благоприятном расположении Луны эти облака Кордылевского можно обнаружить как размытые слабосветящиеся пятна. Очевидно, в роли троянцев здесь выступают мириады мелких частичек межпланетной космической пыли, захваченных на устойчивые орбиты совместным притяжением Земли и Луны. Еще задолго до открытия троянцев, 13 августа 1898 г., на Берлинской обсерватории обнаружили необычный астероид. Судя по негативу, за сутки эта малая планета проходила на небосводе путь, равный видимому поперечнику Луны. Мы теперь знаем примеры гораздо более удивительные, но в конце прошлого века случай казался из ряда вон выходящим. Когда вычислили орбиту Эрота (как наименовали необычный астероид), оказалось, что большая ее часть расположена внутри орбиты Марса. Перигелийное расстояние получилось равным 1,13 а. е., афелийное — 1,78 а. е. а наклонение орбиты — близким к 11°.
Наиболее поразительным казалось то, что в периоды максимальных сближений Эрота с Землей расстояние между этими небесными телами сокращается до 23300000 км. Иначе говоря, Эрот оказался тогда после Луны самым близким к Земле небесным телом. «Год» Эрота продолжается 1,76 земного года. Можно подсчитать, что великие противостояния Эрота (т.е. наибольшие сближения его с Землей) повторяются через 37 и 44 года. Когда одно из них наступило в 1931 г., Эрот подошел к Земле на расстояние 26 млн. км.
Как известно, относительные расстояния планет от Солнца (т. е. отношения больших полуосей планетных орбит к большой полуоси орбиты Земли) можно получить непосредственно из наблюдений. Представьте себе, например, противостояние Марса. Оно наступает тогда, когда Марс кульминирует в местную полночь — факт, получаемый из наблюдений. Через месяц взаимное расположение Солнца, Земли и Марса изменится. Вместо того, чтобы располагаться на одной прямой, они теперь образуют вершины некоторого треугольника. В нем угол при Солнце известен — он равен разности дуг, пройденных Землей и Марсом по их орбитам (будем считать их для простоты круговыми). Дуги же легко определяются по периодам обращения Земли и планет, получаемым из наблюдений.
Угол при Земле между направлением на Солнце и направлением на Марс называется элонгацией, и его находят по положениям Солнца и Марса на небе. Таким образом, в рассматриваемом треугольнике известны все углы, а значит (по теореме синусов), можно найти и отношение радиусов орбит Земли и Марса.
Факт этот весьма примечателен. Он объясняет, как Кеплер мог сформулировать свой третий закон движения планет, связывающий расстояния планет от Солнца с их периодами обращения, не зная самих этих расстояний. Все дело в том, что в третьем законе Кеплера (квадраты времен обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы их расстояний от него) фигурируют не абсолютные расстояния планет (они были измерены впервые в XIX в.), а лишь отношение этих расстояний. Значит, Кеплеру были известны пропорции планетных орбит и он мог правильно изобразить их на чертеже, не указывая, однако, масштаба.
Отсюда следует, что если для любой планеты удастся измерить ее расстояние до Солнца, «единица масштаба» будет найдена, и все остальные расстояния в Солнечной системе получатся в итоге несложных вычислений.